Una vez que ya has iniciado el camino con las anualidades vencidas, es tiempo de que comiences con las anualidades anticipadas. Por lo cual, el día de hoy te voy a compartir un conjunto de ejercicios resueltos de anualidades anticipadas para que puedas practicar y aprender.
Espero que te sea de utilidad.
Requisitos para resolver los ejercicios sobre anualidades anticipadas
Bueno, creo que estaría haciendo mucho más largo el artículo de lo que debería ser si explico lo mismo que ya tengo en otro artículo, por lo cual yo te aconsejo lo siguiente:
- Tienes que tener conocimientos sobre interés compuesto. De hecho, los problemas sobre anualidades anticipadas (anualidades en general) pueden ser resueltos simplemente con el uso de interés compuesto, pero sería más tardado que con las fórmulas que se ocupan en anualidades.
- Yo te aconsejo que leas mi artículo sobre anualidades vencidas, ya que en ese artículo te explico los tipos de anualidades que hay, los conceptos básicos que tienes que conocer (renta, plazo de anualidad, periodo de pago, etc) y su diferencia con otro tipo de anualidades.
Por lo cual, te voy a dejar los enlaces a los artículos con la secuencia que deberías de seguir:
Si ya leíste los artículos anteriores, entonces ya tienes conocimientos sobre cómo funciona el interés compuesto y ya tienes idea sobre los conceptos básicos de las anualidades. De ser así, entonces puedes seguir leyendo el artículo.
¿Qué son las anualidades anticipadas?
Como mencione en el artículo sobre anualidades vencidas, hay diferentes tipos de anualidades y en un problema sobre anualidades puedes tener una anualidad que entra en diferentes categorías al mismo tiempo.
Por ejemplo, puedes tener una anualidad que sea:
- Cierta.
- Simple.
- Inmediata.
- Anticipada.
De hecho, muchos de los ejercicios de anualidades anticipadas que voy a resolver aquí pertenecen a dichas categorías. Por lo cual, si no sabes a lo que me refiero, te recomiendo que leas el artículo que hice sobre anualidades vencidas. Ahí lo explico.
¿Qué es una anualidad anticipada?
Una anualidad anticipada es una anualidad en donde los pagos (renta) se realizan al principio de cada periodo de pago. En el caso de las anualidades vencidas el pago se hace al finalizar el periodo de pago. Por lo cual, esa es la principal diferencia entre las anualidades vencidas y anticipadas.
Explicación para entender el comportamiento de las anualidades anticipadas
Si te digo que las anualidades pueden ser vistas como la suma de intereses compuestos… ¿Me crees? Bueno, para demostrarte lo que acabo de decir y que puedas comprender el comportamiento de las anualidades, voy a resolver un ejercicio de anualidades anticipadas.
Antes de continuar, he de decir que lo voy a resolver únicamente con la ecuación de monto de interés compuesto. Estoy seguro que la conoces.
El enunciado del ejercicio es el siguiente:
En primer lugar, hay que darnos cuenta que nos están pidiendo encontrar un monto. ¿Cierto?
Asimismo, nos están dando lo siguiente:
- Tiempo = 3 meses.
- Capital (capitales) = $100
- Tasa de interés = 5% mensual.
Bueno, si fuese un problema de interés compuesto, lo que pensarías hacer es llevarte los 100 pesos por tres periodos con la fórmula de monto. ¿Cierto? Esa lógica está bien y mal.
- Está bien porque sí te tienes que llevar el capital hacia un momento en el futuro.
- Está mal porque no sólo se trata de un capital que tienes que llevar. En este caso, se cuenta con tres capitales, los cuales se tiene que llevar hacia un mismo punto, pero de momentos diferentes.
Para que se entienda mejor, te voy a poner la siguiente imagen:
Se tratan de tres capitales porque se van a depositar 100 pesos cada mes por tres meses. Por lo tanto, 100 pesos se depositan en el mes 1, 100 pesos se depositan en el mes 2 y los últimos 100 pesos se depositan en el mes tres.
Ahora bien, al ser una anualidad anticipada, el monto se encuentra un periodo después del último pago. Podríamos decir que se encuentra en el inicio del mes 4.
¿Por qué se encuentra el monto al siguiente periodo?
Te voy a poner un ejemplo muy sencillo. Imagina que yo te rento una casa. Tú vas a poder hacer uso de la casa desde el 1 de Enero del 2023 hasta el 1 de Febrero del 2023. Bueno, si pensamos que se trata de una anualidad anticipada, se hace el pago al principio de cada periodo, entonces tú tendrías que pagarme la renta el 1 de Enero. ¿Cierto?
Sin embargo, tienes derecho a usar la casa hasta el 1 de Febrero del 2023. Por lo cual, usando ese ejemplo como analogía, podríamos decir que tu monto se encuentra hasta el día en que ya no tienes derecho en usar la casa. Es por eso que se dice que el monto se encuentra un periodo después.
¿Por qué las anualidades se pueden ver como la suma de intereses?
Ya sabes el por qué el monto en las anualidades anticipadas se encuentra un periodo después de la última renta (pago) que se hace. Ahora voy a continuar con la explicación (resolver el ejercicio) y así podrás ver el por qué se pueden ver como la suma de intereses.
Para resolver el ejercicio tenemos que llevar cada capital hasta el periodo en donde se encuentra el monto. Para hacerlo, lo único que vamos a necesitar es la ecuación de monto que vimos en interés compuesto.
Pasos para resolver una anualidad anticipada utilizando interés compuesto 👇
Los pasos son los siguientes:
1. En primer lugar, vamos a obtener el primer monto. Para hacerlo, vamos a llevar los primeros 100 pesos un total de 3 periodos (en este caso son meses).
Como puedes ver, si llevamos los primeros 100 pesos hasta donde se encuentra el monto, obtenemos que esos 100 pesos se convierten en 115.76 pesos.
2. Ahora vamos a llevarnos los 100 pesos que se encuentran en el segundo mes. Por supuesto, también hay que llevarlos hasta el monto.
Como puedes ver, los siguientes 100 pesos sólo tenemos que llevarlos dos meses, ya que se encuentran en el mes 2.
3. A continuación, lo que hay que hacer es llevar los últimos 100 pesos hacia el monto.
Asimismo, los últimos 100 pesos hay que llevarlos al monto, pero como están en el mes 3, sólo tenemos que llevarlos un periodo.
4. Por último, lo que hay que hacer para encontrar el monto total es hacer la suma de los 3 montos (M1 + M2 + M3) y obtendremos el monto total. En este caso, el monto es de 331.0125. Con eso ya tendrías la respuesta de tu primer ejercicio de anualidades anticipadas y se resolvió únicamente con interés compuesto.
Como puedes ver, los ejercicios de anualidades pueden ser resueltos sólo con interés compuesto, pero puede ser muy tardado. ¿Por qué? Imagina que en lugar de ser 3 periodos fuesen 30 periodos. Tendrías que llevar muchos capitales hacia el monto y tardarías mucho tiempo.
Por lo cual, más adelante podrás ver las ecuaciones de anualidades anticipadas. Con ellas podrás resolver los problemas sin tener que sumar o restar intereses como se hizo a anteriormente.
Diagrama de valor – tiempo para resolver ejercicios de anualidades anticipadas
No es necesario usar diagramas de valor – tiempo para resolver problemas de anualidades anticipadas, pero la verdad es que son muy utilizados para resolver toda clase de problemas en matemáticas financieras.
Esto es porque te ayudan a ver los problemas de una manera más gráfica y te pueden ayudar a entender mejor su comportamiento.
A continuación, te voy a presentar el ejemplo anterior en un diagrama de valor – tiempo.
En el diagrama de valor – tiempo se pueden ver dos cosas:
- Monto: En una anualidad anticipada, el monto se encuentra un periodo después.
- Capital: El capital se encuentra donde se hace el primer pago en una anualidad anticipada.
Recordar eso es muy importante para que puedas resolver los problemas de manera correcta.
Diferencia entre las anualidades anticipadas y las anualidades vencidas
Para que veas la diferencia que hay entre ambos tipos de anualidades, te voy a poner una imagen.
Para que entiendas mejor la diferencia, te voy a poner un ejemplo utilizando la imagen anterior. Imagina que vas a rentar una casa por tres meses, ya que necesitas unas buenas vacaciones. Vas a pagar una renta mensual de 10,000 pesos y el contrato de arrendamiento se hace el día 14 de octubre del año 2022.
En pocas palabras, desde el 14 de octubre vas a hacer uso de la casa. En la imagen anterior sería el 0.
Bueno, te voy a poner dos casos:
1. Anualidad vencida
Si se te cobra la renta usando el concepto de anualidad vencida, entonces se te cobra la renta hasta el 14 de noviembre del año 2022. Por lo cual, no vas a pagar de manera inmediata la renta, sino hasta el final del periodo.
Asimismo, hay que destacar que el monto se encuentra en el día 14 de enero del año 2023 (pagas por tres meses) y hasta ese día tienes derecho de disfrutar de la casa. Es decir, tienes que salirte de la casa ese día y ese día, antes de irte, tienes que pagar tu última renta.
Es por eso que en una anualidad vencida primero usas y luego pagas, ya que no pagas sino hasta el final del periodo. Te voy a poner una imagen para que sea más entendible.
Por cierto, el capital en una anualidad vencida se encuentra un periodo anterior a la primera renta. En este caso el capital se encuentra en el 0, por ende el capital se encuentra el 14 de octubre del 2022.
2. Anualidad anticipada
Si ahora se te cobra la renta usando el concepto de anualidad anticipada, entonces tienes que pagar el día de hoy (0), es decir el 14 de octubre del año 2022. En este caso también tienes que salirte el 14 de enero del año 2023.
Sin embargo, quiero que veas que el último pago lo haces el 14 de diciembre del 2022. Por lo cual, en las anualidades anticipadas primero pagas y luego usas. Gracias a eso, el último pago se hace el 14 de diciembre, pero el monto se encuentra al final de ese periodo (después de todo ya pagaste por disfrutar ese mes).
Te voy a poner una imagen para que puedas verlo de manera más sencilla.
En el caso de las anualidades anticipadas, el capital lo vas a encontrar en la misma fecha en que se realiza la primera renta. En este caso, la renta se realiza el 14 de octubre.
Espero que con eso ya puedas tener una mejor idea sobre el funcionamiento de una anualidad anticipada y te sirva para poder resolver los diferentes ejercicios de anualidades anticipadas que se te presenten.
Comparación entre una anualidad anticipada y una anualidad vencida
| Anualidad anticipada | Anualidad vencida |
|---|---|
| Se paga al principio del periodo de pago. | Se paga al final del periodo de pago. |
| Da un mayor capital que una anualidad vencida. | Da un menor capital que una anualidad anticipada. |
| Da un mayor monto que una anualidad vencida. | Da un menor monto. |
Como puedes ver en la imagen anterior:
- En una anualidad anticipada el monto se encuentra un periodo después y el capital se encuentra justo cuando se da el primer pago (renta).
- En una anualidad vencida, el monto se encuentra justo cuando se paga la última renta y el capital se encuentra un periodo antes de la primera renta.
Eso es lo que hace que en una anualidad anticipada se genere un mayor monto y un mayor capital.
Diferencia entre anualidad anticipada y diferida
Bueno, las anualidades pueden clasificarse de diferentes formas, sin embargo la realidad es que en un mismo problema te puedes encontrar que una anualidad es una combinación de diferentes categorías.
De hecho, los ejercicios que voy a resolver en este artículo hacen alusión a una anualidad que cae en las siguientes categorías:
- Cierta.
- Simple.
- Inmediata.
- Anticipada.
Si deseas conocer más sobre las categorías a las que puede pertenecer una anualidad, te recomiendo el siguiente artículo:
Ahora bien, los mismos problemas podrían convertirse en anualidades diferidas si en lugar de ser anualidades inmediatas, se convierten en anualidades diferidas. De tal forma que las categorías podrían quedar de la siguiente manera:
- Cierta.
- Simple.
- Diferidas.
- Anticipada.
En pocas palabras, para que una anualidad entre en la categoría de diferidas tiene que existir un periodo de gracia. Tal vez lo has llegado a ver como: «Compra hoy y paga después». Por ejemplo, compras el 1 de noviembre del 2022 y comienzas a pagar el 1 de enero del 2023.
En pocas palabras, como tal no hay una diferencia entre una anualidad anticipada y una anualidad diferida, ya que una anualidad anticipada puede ser inmediata o diferida. Todo depende del problema.
Por lo cual, puedes encontrarte diferentes combinaciones de anualidades.
Por cierto, uno puede pensar que durante el periodo de gracia no te van a cobrar intereses, pero la realidad es que las fórmulas (ecuaciones) de anualidades diferidas sí contemplan los intereses que se generan durante ese periodo de gracia. Por lo cual, no es como si durante ese periodo te estuviesen regalando dinero.
Fórmulas de anualidades anticipadas
Ahora que tienes la lógica sobre su funcionamiento, ahora te voy a poner las fórmulas que te van a ayudar a resolver problemas de anualidades anticipadas. Debo decir que no son las mismas fórmulas ocupadas en anualidades vencidas.
Fórmulas de anualidades anticipadas con monto
Las fórmulas de anualidades anticipadas con monto son las siguientes:
Fórmulas de anualidades anticipadas con capital
Las ecuaciones para resolver ejercicios con capital son las siguientes:
Ejercicios resueltos de anualidades anticipadas
A continuación, te voy a compartir algunos ejercicios resueltos de anualidades anticipadas. He de decir que te recomiendo que trates de resolver los ejercicios por tu cuenta y que después compruebes la respuesta.
1. ¿Qué cantidad se acumularía en 8 meses si se depositan $500.ºº al principio de cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 3% mensual?
Ya que nos están preguntando sobre la cantidad que se acumularía, entonces nos están pidiendo un monto. Por lo cual, vamos a ocupar la ecuación de monto para resolver el ejercicio.
Por cierto, los datos con los que contamos son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 8 meses |
| Renta (R): | $500 mensuales |
| Tasa de interés (i): | 3% mensual |
| Monto (M): | ? |
Por cierto, el diagrama de valor – tiempo de este ejercicio queda de la siguiente manera:
Resolución del ejercicio 1
La ecuación que vamos a utilizar el ejercicio es la siguiente:
Si sustituimos los datos, queda de la siguiente forma:
Por lo cual, la respuesta correcta es: 4579.55
2. Depositas $1000.ºº en una cuenta de ahorro al principio de cada mes. Si la cuenta paga 5% mensual de interés. ¿Cuánto habrás ahorrado durante el primer año?
En el ejercicio 2 también nos están pidiendo el monto. Te aconsejo que intentes resolverlo y luego compares tu resultado.
Los datos con los que contamos para resolver el problema son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 12 meses (1 año) |
| Renta (R): | $1000 mensuales |
| Tasa de interés (i): | 5% mensual |
| Monto (M): | ? |
El diagrama de valor – tiempo queda de la siguiente forma:
Resolución del ejercicio 2
Ya que también nos están pidiendo el monto, vamos a utilizar la misma ecuación que en el ejercicio anterior. Al sustituir los datos nos queda de la siguiente manera:
Por lo cual, el monto, es decir lo que se habrá ahorrado durante el primer año es: 16,712.98
3. ¿Cuánto será necesario que deposites al principio de cada mes para generar un monto de $10,000 durante 2 años si te pagan un interés del 30% anual?
Como puedes darte cuenta, ya no nos están pidiendo el monto, sino que ahora nos están pidiendo la anualidad o renta que se tiene que pagar para obtener un monto de 10000 pesos en dos años.
Los datos con los que contamos son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 2 años o 24 meses |
| Renta (R): | ? |
| Tasa de interés (i): | 30% anual o 2.5% mensual |
| Monto (M): | $10,000 |
Por lo cual, la fórmula que vamos a utilizar es la siguiente:
Si sustituimos los datos nos queda de la siguiente forma:
Por lo tanto, se tiene que pagar una renta mensual de 301.58 pesos.
4. Calcule el valor actual de 5 pagos semestrales de $10,000.ºº con intereses del 10% semestral. Resolverlo con pagos vencidos y anticipados.
Este ejercicio nos pide obtener en valor actual, es decir el capital. Sin embargo, tenemos que resolverlo con anualidades vencidas y anticipadas. Los datos con los que contamos son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 5 semestres |
| Renta (R): | 10,000 semestrales |
| Tasa de interés (i): | 10% semestral |
| Capital (C): | ? |
Ejercicio resuelto con anualidades vencidas
La fórmula que vamos a utilizar para obtener el capital en anualidades vencidas es la siguiente:
Si sustituimos los datos queda de la siguiente manera:
Por lo cual, utilizando la fórmula de anualidades vencidas se obtiene un capital de: $37,907.86
Nota: Para conocer la fórmula de capital en anualidades vencidas, te recomiendo que vayas a leer el siguiente artículo: Anualidades vencidas
Ejercicio resuelto con anualidades anticipadas
Ahora vamos a utilizar los mismos datos, pero vamos a utilizar la fórmula de anualidades anticipadas para obtener el capital. Por lo cual, la ecuación que se tiene que utilizar es la siguiente:
Si sustituimos los datos queda de la siguiente forma:
Como puedes ver, se obtiene un mayor capital con las anualidades anticipadas que con las anualidades vencidas. Asimismo pasa con el monto. Por lo cual, dependiendo el problema, en ocasiones puede ser mejor para ti que se usen anualidades vencidas o anticipadas.
5. Si deseas establecer un fideicomiso en el cual vas a depositar 3,000,000 para percibir durante 3 años anualidades al principio de cada año; si este importe se invertirá al 40% anual, ¿Cuál será la anualidad (renta) por percibir?
Los datos que tenemos son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 5 semestres |
| Renta (R): | 10,000 semestrales |
| Tasa de interés (i): | 10% semestral |
| Capital (C): | ? |
La ecuación que tenemos que utilizar es la siguiente:
Si resolvemos el ejercicio obtenemos lo siguiente:
Por lo tanto, cada año (inicio de año) se obtendría una anualidad de 1,348,653.85
6. Deseas establecer un fideicomiso en el cual tendrás que depositar 100,000 para percibir durante 3 años anualidades al principio de cada año. Si este importe se invierte al 30% anual. ¿Cuál será la anualidad que vas a recibir?
Los datos con los que contamos para resolver este problema de anualidades anticipadas son los siguientes:
| Plazo de la anualidad (n): | 3 |
| Tasa de interés (i): | 30% anual |
| Capital (C): | 100,000 |
| Renta (R): | ? |
Ahora, para resolver el problema, lo único que hay que hacer es sustituir los datos en la ecuación y obtenemos lo siguiente:
Por lo cual, al principio de cada año estarías recibiendo la cantidad de 42355.88 por tres años.
7. Pretendes liquidar un adeudo mediante cuatro pagarés de $15000 cada uno, con vencimiento anual a liquidarse al principio de cada año. Considera que el interés es del 25% anual. ¿Cuánto dinero deberás de pagar en una sola exhibición?
Si prestas atención al enunciado, en este ejercicio de anualidades anticipadas nos están pidiendo que encontremos el capital. Por lo cual, vamos a usar la ecuación de capital.
Bueno, en primer lugar, vamos a poner los datos que nos otorgan en el problema.
| Plazo de la anualidad (n): | 4 |
| Tasa de interés (i): | 25% anual |
| Renta (R): | 15000 |
| Capital (C): | ? |
Si sustituimos los datos en la ecuación, nos queda lo siguiente:
8. Una tienda vende un escritorio en $5000 pesos al contado, o mediante pagos mensuales anticipados de $600. Si el interés es del 10% mensual, ¿Cuántos pagos se tienen que hacer?
Los datos que nos otorga el problema son los siguientes:
| Tasa de interés (i): | 10% mensual |
| Renta (R): | 600 |
| Capital (C): | 5000 |
| Plazo de la anualidad (n): | ? |
Si sustituimos los datos en la ecuación, obtenemos la siguiente respuesta:
Por lo tanto, tenemos que hacer 14.86 pagos o anualidades.
Espero que el artículo te haya sido de utilidad.
