¿Qué es progresión aritmética?

En el artículo de hoy, te voy a proporcionar un conjunto de ejercicios resueltos de progresión aritmética, con el objetivo de que aprendas lo que es una progresión aritmética y que te prepare a dar el siguiente paso con las progresiones geométricas.

Recuerda que saber lo que es una progresión puede ayudarte a comprender de mejor manera lo que es una anualidad. Claro que las anualidades se fundamentan principalmente en las progresiones geométricas, pero creo que en ocasiones es mejor ir de lo más sencillo a lo más complicado.

Por lo cual, en primer lugar, es mejor que comprendas lo que es una progresión aritmética y después puedes pasar a las progresiones geométricas.

Espero que te sea de utilidad.

¿Qué es una progresión?

Una progresión puede ser vista como una serie o una sucesión de números no interrumpida.

Algunos aspectos que tienes que considerar son los siguientes:

1. Cada número perteneciente a la sucesión es llamado término.
2. En cada progresión debe de existir un primer término.
3. Cada progresión cuenta con un criterio, el cual nos ayuda a poder determinar cada uno de los siguientes términos de la sucesión.
4. Los términos que integran la progresión puede ser ser obtenidos por diferencia (progresión aritmética) o por cociente (progresión geométrica).

Ejemplos de progresiones

Algunos ejemplos de progresiones son:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…
• 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…
• 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…
• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Tipos de progresiones

Podemos encontrar progresiones aritméticas y progresiones geométricas.

¿Qué es una progresión aritmética?

Las progresiones aritméticas son progresiones cuyos términos se integran por diferencia. Yo sé que es posible que es mejor que te lo explique con un ejemplo.

¿Recuerdas que en la primaria nos ponían a encontrar el siguiente número de una sucesión?

¿Qué número o término sigue en la siguiente sucesión? 2, 4, 6, 8, __

Claro, es una sucesión muy sencilla, pero ¿Cómo le harías para encontrar la respuesta?

Una forma de hacerlo es encontrando la diferencia constante que existe entre los términos de la sucesión, es decir, mediante la resta. Siguiendo el ejemplo anterior, se puede hacer las siguientes restas:

• 4 – 2 = 2
• 6 – 4 = 2
• 8 – 6 = 2

Por lo tanto, mediante la resta hemos podido encontrar la diferencia constante de la progresión aritmética. En este caso, la diferencia constante es igual a 2.

Así pues, para encontrar el término que sigue en la sucesión, lo único que hay que hacer es sumar 2 al último término de la sucesión con el que se cuenta, el cual es el 8. Por consiguiente, el siguiente término de la sucesión es 10.

Cabe destacar que ha sido una sucesión muy sencilla y no ha sido necesario contar con una fórmula, pero qué pasaría si te pido que me des el término 100 de esa sucesión. En el ejemplo anterior te he pedido el quinto término, pero ¿cuál es el término 100 o el 1000?

Bueno, para eso podemos utilizar una fórmula que te voy a mostrar más adelante. Por ahora, quiero que te quedes con el hecho de que en las progresiones aritméticas vas a utilizar la diferencia (resta) para poder obtener los diferentes términos de la progresión.

Nota: recuerda que estamos hablando de una diferencia constante. Por ejemplo, en el caso anterior, no importa que términos escojas de la sucesión, ya que la diferencia siempre va a ser 2.

Literales

Antes de continuar, es importante que nos pongamos de acuerdo con las literales que se van a utilizar y que conozcas su significado.

Por cierto, voy a seguir utilizando el ejemplo: 2, 4, 6, 8, __

• a = primer término de la sucesión. Recuerda que dije al principio que siempre debe de contar con un primer término. Siguiendo con el ejemplo anterior, el primer término es el valor 2.
• d = diferencia constante. En pocas palabras, se trata del valor encontrado mediante la resta de sus términos. En el ejemplo anterior era el valor 2 (4 – 2).
• n = número de términos que contiene la progresión. Siguiendo con el ejemplo, la sucesión cuenta con 4 términos y nos piden el quinto término.
• I = x. Es el término de la sucesión que estamos buscando o el último término de la sucesión.

Nota: Recuerda que la progresión puede ser finita o infinita.

Expresión literal de la progresión aritmética

Para que puedas ver la forma en la que se van encontrando los diferentes términos de una progresión aritmética, entonces, te voy a poner la siguiente tabla.

Siguiendo con el mismo ejemplo (2, 4, 6, 8, __), entonces, queda de la siguiente forma:

Fórmula de la progresión aritmética

Como puedes ver, para poder encontrar el n-ésimo término de una sucesión, lo único que necesitar es la siguiente fórmula:

• a = primer término de la sucesión.
• d = diferencia constante.
• n = número de términos que contiene la progresión.
• I = término que estamos buscando o el último término de la sucesión.

Por lo cual, si deseas encontrar el término número 100 de la sucesión: 2, 4, 6, 8, __

2 + (100 – 1)2 = 200

Despejes de la fórmula de progresión aritmética

Así como nos pueden pedir que otorguemos el último número de la sucesión (I), también nos pueden pedir que proporcionemos el primer término o la diferencia constante. Por lo cual, a continuación te voy a proporcionar los diferentes despejes de la progresión aritmética.

¿Cómo encontrar el primer término?

Si deseas encontrar el primer término de una progresión, entonces, el despeje queda de la siguiente forma:

¿Cómo encontrar la diferencia constante?

El despeje de la diferencia constante queda de la siguiente forma:

¿Cómo encontrar el número de términos de una progresión aritmética?

La fórmula (despeje) que te va a ayudar a encontrar el número de términos que posee una progresión aritmética es la siguiente:

¿Qué pasa si la diferencia constante es positiva?

Si la diferencia constante de la sucesión es positiva, entonces, se trata de una progresión creciente.

Ejemplo de progresión creciente

Supongamos que tienes la sucesión: 4, 8, 12, 16, 20,

Si obtenemos la diferencia constante, vamos a obtener como resultado que la diferencia constante es igual a 4 ¿Cierto? De hecho, con sólo ver la sucesión nos podemos percatar que los términos van incrementando de 4 en cuatro.

Claro que aquí nos han dado directamente la sucesión, pero hay ocasiones en que sólo nos van a dar los datos. Por ejemplo:

• a = 4.
• d = 4.
• n = 5.

De esa forma, ya sabemos que la progresión tiene como primer término el número 4; se trata de una sucesión creciente; incrementa de 4 en cuatro y posee 5 términos.

¿Qué pasa si la diferencia constante es negativa?

En este caso, sucede lo contrario al caso anterior. De tal forma que si la diferencia constante es negativa, entonces, la progresión es decreciente.

Ejemplo de progresión decreciente

Supongamos que te dan los siguientes datos:

• a = 40.
• d = -5.
• n = 5.

Por lo tanto, la progresión aritmética tiene como primer término el número 40; tiene una diferencia constante de – 5 (por lo cual es decreciente) y posee 5 términos. Así pues, la sucesión queda de la siguiente forma:

40, 35, 30, 25, 20

Por cierto, para saber cualquier valor de la sucesión, puedes usar la expresión que te proporcioné antes. Vamos a suponer que te piden que encuentres el siguiente término de la sucesión anterior (sexto término).

Nota: recuerda que vamos a utilizar I = a + (n – 1) d

40 + ( 6 – 1) -5 = 15

Como puedes ver, el siguiente término de la sucesión es 15. De hecho, como estoy usando sucesiones sencillas, es muy fácil predecir el siguiente término. De esa forma puedes corroborar que funciona.

¿Qué es la suma de una progresión aritmética?

Como ya nos lo indica su nombre, es la suma de todos los términos que posee una determinada progresión (sucesión). De hecho, hay un teorema muy interesante que nos dice lo siguiente:

«En toda progresión aritmética limitada, la suma de los medios equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos»

Para ejemplificar el teorema, voy a tomar como ejemplo la siguiente sucesión: 5, 10, 15, 20 , 25, 30

Ahora bien, vamos a empezar con lo más sencillo del teorema anterior… ¿Quiénes son los extremos de una progresión? Bueno, son el primer y el último término de la sucesión ¿Cierto? Después de todo, estamos hablando de los extremos.

Como ya hemos visto en la fórmula, el primer término de una sucesión es igual a la letra a. El último término es igual a la letra I. Ya los conoces porque están en la fórmula.

Nota: recuerda que yo utilicé esas letras, las cuales he visto en libros, pero en teoría puedes tomar las letras que tú quieras. Siempre y cuando sepas qué significa cada letra.

Ahora bien… ¿Cuáles son los medios equidistantes de los extremos? Bueno, en este caso, estamos hablando de dos términos que se encuentran a la misma distancia de los extremos.

Siguiendo la sucesión de ejemplo, el segundo término (10) de la sucesión y el quinto término (25) de la sucesión cumplen con lo anterior. Después de todo, el segundo término se encuentra junto al primer término y el quinto término se encuentra junto al último término.

Asimismo, el tercer y el cuarto término, también son medios equidistantes de los extremos.

¿Se cumple el teorema?

Ahora vamos a comprobar que se cumple el teorema.

• La suma de los extremos es igual a 35. a = 5; I = 30. Por lo tanto, 5 + 30 es igual a 35.
• Ahora bien, voy a utilizar el segundo término y el quinto término de la sucesión como medios equidistantes de los extremos. El segundo término es igual a 10; el quinto término es igual a 25. Por lo tanto, 10 + 25 = 35. Como puedes ver, también se cumple. Puedes probar en hacer la suma de los otros medios equidistantes para que veas que se cumple.

Fórmula de suma de progresión aritmética

Ya que hemos visto que se cumple el teorema anterior, ahora sí voy a proporcionarte dos fórmulas que te servirán para encontrar la suma de una progresión aritmética.

Si conoces el último término de la sucesión

Si conoces el último término de la progresión, entonces, puedes utilizar la siguiente fórmula para encontrar la suma de la progresión:

Como ejemplo voy a utilizar la siguiente sucesión: 5, 10, 15, 20 , 25, 30

Como puedes ver, ya tenemos todos los datos que necesitamos, es decir:

• a = 5.
• I = 30.
• n = 6.

Por lo tanto: S = (5 + 30) 6 / 2

La respuesta es igual a 105. De hecho, si piensas que no es verdad, entonces, puedes hacer la suma: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105.

De esa forma, si te ponen a sumar todos los términos de una sucesión que tiene 100 o 1000 términos, no vas a tardarte todo el día en hacer la suma.

Si no conoces el último término de la sucesión

Si no conoces el último término de la sucesión y no deseas obtenerlo, entonces, puedes utilizar la siguiente fórmula:

Voy a utilizar la misma sucesión que en el ejemplo anterior, pero voy a imaginar que no conozco el último término (30). Por lo cual, la sucesión queda así: 5, 10, 15, 20 , 25, __

De tal forma que los datos que tenemos son:

• a = 5.
• n = 6.
• d = 5.

Por lo tanto: S = (6/2)(2*5 + (6 -1) 5) = 105.

Como puedes ver, nos da el mismo resultado. Aunque, puedes escoger la fórmula que quieras usar. Después de todo, puedes obtener el dato que te haga falta.

Ejercicios resueltos de progresión aritmética

Bueno, en este punto ya conoces lo suficiente para poder comenzar a resolver algunos ejercicios. Por lo tanto, a continuación, te voy a proporcionar algunos ejercicios resueltos de progresión aritmética.

Yo te recomiendo que intentes resolverlos primero y después compruebes tu resultado.

Ejercicio 1

Los datos del primer ejercicio son los siguientes:

• a = 3.
• d = 3.
• n = 10.
• I = ? ¿Cuál es el último término de la sucesión?

Para encontrar el último término de la progresión, lo que hay que hacer es lo siguiente:

I = a + (n – 1) d

I = 3 + (10 – 1) 3

Por lo tanto, el último término de la progresión es igual a 30. De hecho, es la tabla del 3, pero para que puedas ver que es verdad, voy a poner los diez términos de la sucesión: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

Ejercicio 2

Para el ejercicio dos, los datos son los siguientes:

• a = ?
• d = 7.
• n = 5.
• I = 42.

Para encontrar el primer término de una progresión aritmética, entonces, se tiene que hacer lo siguiente:

a = I – (n – 1) d

a = 42 – (5 – 1) 7

Por lo tanto, el primer término es igual a 14. De tal forma que la sucesión queda de la siguiente forma: 14, 21, 28, 35, 42

Ejercicio 3

Para el ejercicio 3, voy a utilizar los siguientes datos:

• a = 50.
• I = 10.
• n = 6.
• d = ?

Para que puedas encontrar la diferencia constante en una progresión, lo que tienes que hacer es lo siguiente:

d = ( I – a) / (N – 1)

D = (10-50) / (6-1)

Por lo tanto, la respuesta del tercer ejercicio de progresión aritmética es igual a – 8.

Ejercicio 4

El último ejercicio cuenta con los siguientes datos:

• a = 79.
• d = -9.
• I = 25.
• n = ?

Para que puedas encontrar el número de términos de la sucesión, tienes que hacer lo siguiente:

n = ( (I-a) /(d) ) + 1

n = ((25 – 79) / -9) + 1

Por lo tanto, el número de términos de la sucesión es igual a 7.