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¿Qué es una progresión geométrica?

Qué es una progresión geométrica

En el artículo de hoy vas a poder aprender sobre qué es una progresión geométrica, cuál es su término general y podrás conocer su fórmula con los diferentes despejes. Por supuesto, te voy a proporcionar de algunos ejercicios resueltos para que puedas comprender mejor el tema.

Espero que te sea de utilidad.

¿Qué es una progresión?

Para empezar, puedo empezar diciendo que puedes pensar que una progresión es una serie o una sucesión de número ordenados no interrumpida, la cual posee una ley bien definida que permite su formación.

La ley debe de incluir un primer término de la sucesión y un criterio que te permita determinar cada uno de los siguientes términos.

Por ejemplo, la progresión: 2, 4, 6, 8

La sucesión anterior tiene como primer término el número 2 y los siguientes términos son formados al ir sumando dos. Por cierto, la sucesión anterior es una sucesión aritmética.

Para encontrar el último término (I) de una sucesión aritmética o el término que se desee, se puede utilizar la siguiente fórmula:

Fórmula de progresión aritmética

En este artículo no voy a explicar mucho más sobre una progresión aritmética, pero si deseas conocer más sobre las progresiones aritméticas, entonces, te dejo el siguiente enlace:

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica o sucesión geométrica es una progresión cuyos términos se integran por cociente.

Para que puedas entender mejor la definición de progresión geométrica, te pido que leas una ves más lo que es una progresión.

¿Recuerdas que se rigen por una ley que contempla un primer término y un criterio que determina los siguientes términos?

Bueno, el cociente o la división nos va a ayudar a encontrar el cociente constante o razón, la cual nos ayudará a determinar cada término de la sucesión.

Por cierto, si aún no lo comprendes bien, no te preocupes, ya que con los ejemplos vas a poder comprenderlo bien.

¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?

La diferencia que yo considero como más importante entre una progresión aritmética y una progresión geométrica es con respecto a la forma en las que se integran los términos de la sucesión.

Una progresión aritmética es una progresión cuyos términos se integran por diferencia y una progresión geométrica es una progresión cuyos términos se integran por cociente.

Ejemplos de progresión aritmética

Algunos ejemplos de progresión aritmética son:

  • 4, 8, 12, 16, 20, 24
  • 3, 6, 9, 12, 15, 18
  • 5, 10, 15, 20, 25, 30
  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ejemplos de progresión geométrica

Algunos ejemplos de una sucesión geométrica son:

  • 2, 4, 8, 12, 16, 32, 64
  • 12, 36, 108, 324, 972, 2916
  • 15, 75, 375, 1875, 9375, 46875
  • 57, 114, 228, 456, 912, 1824, 3648

Fórmula de una progresión geométrica

Para que puedes conocer el último término de una sucesión geométrica puedes utilizar la siguiente fórmula:

Fórmula de una progresión geométrica

Donde:

  • I = el último término de la sucesión.
  • a = primer término de la sucesión.
  • q = cociente constante de la sucesión.
  • n = número de términos de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión 2, 4, 8 tiene 3 términos, lo cuales son el número 2, el número 4 y el número 8.

¿Cuáles son los despejes?

Los despejes de la fórmula de una progresión geométrica son los siguientes.

¿Cómo obtener el primer término de una sucesión geométrica?

Para obtener el primer término, lo que tienes que hacer es lo siguiente:

Encontrar el primer término de una sucesión geométrica

¿Cómo obtener la razón de una progresión geométrica?

La razón o cociente constante de una progresión geométrica, puede ser encontrada con la siguiente fórmula:

Fórmula para encontrar la razón o cociente constante de una progresión geométrica

Ahora bien, yo sé que se puede encontrar la razón de una sucesión geométrica únicamente haciendo una división. Como ejemplo voy a utilizar la siguiente sucesión geométrica: 6, 18, 54, 162

Muchas veces, lo que se hace es hacer una división entre los términos de una sucesión, aunque, es importante ver que el cociente (resultado de la división) es constante.

  • 18 / 6 = 3
  • 54 / 18 = 3
  • 162 / = 3

Como puedes ver, el cociente es contante, ya que siempre es 3. Por lo cual, la razón (q) es 3.

Ahora bien, si utilizamos la fórmula con la sucesión anterior, entonces, obtenemos lo siguiente:

Como puedes ver, también obtener que la razón o cociente constante es igual a 3.

Ejercicios resueltos de progresión geométrica

A continuación te voy a poner algunos ejemplos resueltos de una sucesión geométrica. Espero que te sean de utilidad.

Ejercicio 1

¿Cuál es el primer término de la siguiente sucesión? __, 4, 8, 16, 32, 64

Para encontrar el primer término de la sucesión, lo que tenemos que hacer es lo siguiente:

Por lo tanto, el primer término de la sucesión es el 2.

Ejercicio 2

Para corroborar que hicimos bien el ejercicio anterior, voy a utilizar la misma sucesión, pero ahora vamos a buscar el último término de la sucesión. 2, 4, 8, 16, 32, 64

Por supuesto, ya sabemos que es el 64, pero vamos a ver si el 2 es realmente el primer término de la sucesión.

Como puedes ver, el 64 sí es el último término de la sucesión. Por cierto, lo que estás buscando es I (la primera fórmula). Si quisiéramos encontrar el siguiente término de esa sucesión, entonces, lo único que tenemos que hacer es modificar la n, es decir, el número de términos que tiene la sucesión.

Por lo cual, si queremos encontrar el siguiente término de la sucesión anterior, la n tiene que ser 7. Por ende, lo único que tienes que hacer es cambiar el 6 del ejemplo anterior y ponerle 7. De tal forma que el siguiente término de la sucesión es 128.

De hecho, podrías buscar el término que tú quieras con esa fórmula. Por ejemplo, si deseas encontrar el término 100, entonces, la n tiene que ser igual a 100.

Ejercicio 3

Para el siguiente ejercicio vamos a utilizar la siguiente sucesión: 43, 86, 172, 344, 688, 1376

Por lo cual, los datos que tenemos son:

  • a = 43.
  • I = 1376.
  • n = 6.
  • q = ?

No tenemos el cociente constante, por lo cual, vamos a encontrarlo.

Ejercicios resueltos de progresión geométrica

Por lo tanto, la razón de la sucesión es igual a 2. Para comprobarlo, puedes hacer la división de cada uno de sus términos y siempre te va a dar 2:

  • 86 / 43 = 2
  • 172 / 86 = 2
  • 344 / 172 = 2

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