Reparto Proporcional

¿Qué es el reparto proporcional (repartimiento proporcional)?

Como no podía ser de otra forma, voy a empezar por la teoría, es decir, voy a ponerte la definición para que entiendas el concepto.

Zendejas Níñez Hugo nos da la siguiente definición de reparto proporcional (repartimiento proporcional):

«El reparto proporcional es la operación que tiene por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores o números dados llamados de reparto«

Elementos que se utilizan en todo problema de reparto proporcional

Los elementos que siempre vas a encontrar en un problema de repartición proporcional son los siguientes:

Cocientes de reparto	Es la cantidad que le corresponde a cada uno de los beneficiarios.
índice de reparto	Son los factores que determinan el reparto asignado a cada uno de los beneficiarios.
Cantidad por repartir	Es el importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios.

Clasificación del reparto proporcional

Directo simple

Es la repartición en la que interviene un solo factor. Asimismo, tienes que considerar que a mayor número de unidades que indique el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda.

Directo compuesto

Bueno, a diferencia de la repartición directa simple, en la directa compuesta Intervienen dos o más factores. Asimismo, al igual que en el simple, a mayor número de unidades, le corresponde mayor cantidad de lo repartido.

Inverso simple

Al igual que en el directo simple, en la repartición proporcional inversa simple, únicamente interviene un solo factor. En este caso, a mayor número de unidades del índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde al beneficiario.

Inverso compuesto

Como ya te lo debes de estar imaginando, en el reparto proporcional inverso compuesto intervienen dos o más factores. Además, cuando el índice de reparto es mayor, menor será la cantidad que le corresponda al beneficiario.

Mixto

Intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y otro u otros inversamente proporcionales.

Métodos para resolver problemas de reparto proporcional

Para que puedas resolver un problema de repartición proporcional existen tres métodos, los cuales son:

• Reducción a la unidad.
• Por proporciones.
• Por partes alícuotas.

Método por reducción a la unidad

Consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto; se obtiene mediante la división de la cantidad por repartir entre la suma de los índices de reparto, que origina lo que se llama «Factor constante (Fc)»

Ejemplo

Supongamos que se va a repartir una herencia de $150,000 pesos entre tres hermanos, en proporción directa con sus edades. Las edades de los tres hermanos son las siguientes:

• Eduardo: 25 años.
• Mario: 15 años.
• Gael: 10 años.

Los datos que tenemos son:

Cantidad por repartir:	$150,000 pesos
Índices de reparto:	25, 15 y 10
Suma de índices de reparto:	50
Cocientes de reparto:	X1, X2, X3

Solución por reducción a la unidad:

Para poder llevar a la solución, primero tenemos que ocupar la fórmula antes mencionada y así obtener el factor constante:

El factor constante que acabamos de obtener indica que por cada año que cada uno de los hermanos tenga, se le otorgarán $3,000 pesos. Por lo tanto, para conocer cuánto dinero le corresponde en total a cada hermano, únicamente tenemos que multiplicar la cantidad de años que cada uno posee por 3,000.

X1: Eduardo	25 x 3,000 = 75,000
X2: Mario	15 x 3,000 = 45,000
X3: Gael	10 x 3,000 = 30,000

Como puedes ver en la tabla anterior, si sumas la cantidad que le corresponde a cada hermano, te da los 150,000 pesos de la herencia.

Método por proporciones

Como su nombre lo indica, el método por proporciones utiliza el mismo concepto de proporción para resolver el problema, es decir, hace la igualación de dos razones. Si quieres conocer más sobre razones y proporciones, te invito a que vayas al siguiente enlace:

Ejemplo

Para que puedas ver que el resultado es el mismo, vamos a resolver el mismo problema, pero, con el método por proporciones.

Solución:

Para empezar, a un total de 50 años (la suma de las edades), le corresponde un total de $150,000 pesos (cantidad a repartir). Ahora, bien también sabemos que a cada edad le corresponde cierta cantidad…. ¿Cierto? Bueno, ahora vamos a expresar el problema en proporciones.

En el primer caso (Eduardo), queda de la siguiente forma:

50 años : $150,000 : : 25 : X1

Por lo tanto, la solución de X1 es: (150,000 x 25) / 50 = $75,000

En el segundo caso (Mario), queda de la siguiente forma:

50 años : $150,000 : : 15 : X2

Por lo tanto, la solución de X2 es: (150,000 x 15) / 50 = $45,000

En el último caso (Gael), queda de la siguiente forma:

50 años : $150,000 : : 10 : X3

Por lo tanto, la solución de X3 es: (150,000 x 10) / 50 = $30,000

Como puedes ver, llegamos a la misma respuesta que con el método anterior

Método por partes alícuotas

Para resolver un problema de reparto proporcional por este método, se tiene que buscar una parte que sea submúltiplo de todos los índices de reparto.

Ejemplo

De nuevo voy a utilizar el mismo ejemplo para que puedas ver que en efecto, puedes utilizar el método que deseas para resolver un problema.

En primer lugar, tenemos que considerar que la suma de los índices de reparto (años) son 50. Ahora bien, Gael tiene 10 años, lo cual es una quinta parte de la suma de los índices de reparto. Por lo tanto, podemos concluir que a Gael le debe corresponder una quinta parte de la cantidad a repartir, es decir, a Gael le tocan 150,000 / 5 = $30,000

Ahora vamos a ver el caso de Mario. Mario tiene 15 años, lo que significa que Mario tiene una vez y media los de Gael. Así pues, le debe corresponder esa misma proporción, es decir 30,000 + 15,000 = 45,000

Por último, Eduardo tiene la edad de Mario más la de Gael. Por lo tanto, la cantidad que le va a tocar es la suma de amas, es decir, 30,000 más 45,000 = 75,000

Como puedes ver, las respuestas son las mismas. Ahora bien, ya que sabemos cuáles son los casos (clasificación) y las formas de resolverlos, voy a poner ejemplos de cada caso (clasificación de reparto proporcional)

Ejemplos resueltos de reparto proporcional

Ejemplo de reparto proporcional directo simple

En el siguiente problema, tienes que determinar el índice de reparto

Un inversionista compró un pagaré por $150,000 y cobró un interés de $25,000. ¿Cuánto invierte el inversionista B que cobró por intereses en el mismo periodo $18,000?

Solución

Para darle solución al problema, voy a utilizar el método por proporciones. Por lo tanto, en primer lugar voy a expresar el problema como una proporción.

Índice : Cociente : : Índice : Cociente

150,000 : 25,000 : : X : 18,000

Por lo tanto, la respuesta es la siguiente:

(150,000 X 18,000) / 25,000 = 108,000

Por lo tanto, el inversionista tuvo que comprar un pagaré por $108,000

Ejemplo de reparto proporcional directo compuesto

En el siguiente problema, tienes que determinar los cocientes de reparto

En la empresa Beta S.A., los empleados tienen constituido un fondo de inversión al cual han aportado cada mes:

Empleado A	$4,000 durante 1 año
Empleado B	$5,000 durante 9 meses
Empleado C	$4,000 durante 6 meses

Al finalizar el año, el saldo de este fondo era de $20,000. ¿Cuánto le corresponde a cada empleado?

Solución

En este caso voy a utilizar el método por reducción a la unidad, por lo tanto, voy a empezar con lo siguiente:

• A = $4,000 x 12 meses = $48,000
• B = $5,000 x 9 meses = $45,000
• C = $4,000 x 6 meses = $24,000

Si sumamos A, B y C, obtenemos $117,000

Ahora bien, vamos a utilizar la fórmula del método por reducción a la unidad y obtenemos:

Fc = 20,000 / 117,000 = 0.17094

Ahora solo nos queda multiplicar

• A = $48,000 x 0.17094 = $8205.12.
• B = $45,000 x 0.17094 = $7692.32
• C = $24,000 x 0.17094 = $4102.56

Si sumas A,B y C, verás que te da el saldo del fondo (20,000).

Ejemplo de reparto proporcional inverso simple

Como ya sabes, en estos casos, el cociente de reparto es mayor a medida que el índice de reparto es menor. Por lo tanto, para resolver estos problemas, lo que tienes que hacer es tomar los inversos de los números dados como índice de reparto, y ya que se han invertido, llevas a cabo el procedimiento de reparto directo simple.

No te preocupes si aún no lo entiendes del todo, te voy a poner un ejemplo para que te quede claro.

En el siguiente problema, tienes que determinar el cociente de reparto

El señor Ramírez celebró un contrato de administración de inversión y estableció que el beneficio de la inversión se reparta entre sus tres hijos en proporción inversa a las edades.

Las edades de los hijos del señor Ramírez son las siguientes:

Hijo A	Tiene 20 años
Hijo B	Tiene 18 años
Hijo C	Tiene 12 años

Los beneficios ascendieron a $320,000 por año.

Solución

Para poder determinar los índices, vamos a proceder de la siguiente manera:

A) Se obtendrán los índices originales

• A = 20.
• B = 18.
• C = 12.

B) Vamos a obtener sus recíprocos

• A = 1/20.
• B = 1/18.
• C = 1/12

C) Vamos a obtener un denominador común para poder simplificarlos. El mínimo común múltiplo de 20, 18 y 12 es 180.

Ahora vamos a convertir los tres índices que tenemos para que tengan un denominador común (180).

• A = 9/180
• B = 10/180
• C = 15/180

Entonces tenemos que:

• A = 9
• B = 10
• C = 15

Ahora lo que se tiene que hacer es sumar los índices que obtuvimos y obtenemos que 9 + 10 + 15 = 34

Por lo tanto, ya podemos utilizar el método por reducción a la unidad y vamos a obtener el Factor constante.

El factor constante es igual a 320,000 / 34 = 9411.7647

Por consiguiente, lo único que nos resta es multiplicar

• A = 9 x 9411.7647 = $84,705.8823
• B = 10 x 9411.7647 = $94,117.647
• C = 15 x 9411.7647 = $141,176.4705

Ejemplo de reparto proporcional inverso compuesto

Como ya sabes, en el reparto proporcional inverso compuesto se presentan dos o más factores, los cuales se multiplican para obtener su inverso, y donde se determina un denominador común a fin de convertirlos en unidades de igualdad, es decir, en un reparto directo simple.

En el siguiente problema, tienes que determinar el cociente de reparto

En un concurso de traducción se repartió un premio de $250,000, en proporción inversa al tiempo de duración y a las faltas cometidas. Los concursantes terminaron en la siguiente forma:

Concursante A	45 minutos y 8 faltas
Concursante B	40 minutos y 12 faltas
Concursante C	50 minutos y 6 faltas
Concursante D	60 minutos y 2 faltas

Solución

Utilizando el método por proporciones. A continuación voy a poner una tabla en donde voy a resumir los pasos hasta llegar a los índices definitivos. Cabe resaltar que no voy a poner todo el procedimiento debido a que se parece al del ejemplo anterior.

Índices originales	Producto de índices	Recíprocos	Denominador común	índices definitivos
A = 45 x 8	360	1/360	7200	20
B = 40 x 12	480	1/480	7200	15
C = 50 x 6	300	1/300	7200	24
D = 60 x 2	120	1/120	7200	60
			Total	119

Bueno, ahora ya podemos expresarlo como una proporción:

En el caso del concursante A:

119 : 250,000 : : 20 : A

Por lo cual, la respuesta es: (250,000 x 20) / 119 = $42,016.80672

En el caso del concursante B:

119 : 250,000 : : 15 : B

Por lo cual la respuesta es: (250,000 x 15)/119 = $31,512.60504

En el caso del concursante C:

119 : 250,000 : : 24 : C

Por lo tanto, la respuesta es: (250,000 x 24) / 119 = $50,420.16807

Por último, el concursante D:

119 : 250,000 : : 60 : D

Por lo cual, la respuesta es: (250,000 x 60) / 119 = $126050.4202

Si haces la suma de lo que cada concursante va a recibir, verás que obtienes los $250,000