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Ejercicios de anualidades vencidas u ordinarias

Qué son las anualidades vencidas y cómo se resuelven los ejercicios

Las anualidades pueden clasificarse en diferentes tipos, pero en el artículo de hoy voy a enfocarme en las anualidades vencidas, también llamadas anualidades ordinarias.

De tal forma que al finalizar el artículo sabrás qué es una anualidad vencida y cómo vas a ser capaz de resolver diferentes problemas. Por supuesto, tendrás diferentes ejercicios que te ayudarán a entender el tema de mejor manera.

Espero que te sea de utilidad.

¿Qué es una anualidad?

Una anualidad es una operación financiera que puede ser vista como una serie de pagos que tienen que ser liquidados (realizados) en intervalos iguales (los cuales no siempre tienen que ser anuales) en un plazo acordado por el deudor y acreedor.

Cabe destacar que las cantidades que tienen que ser saldadas no tienen que ser siempre pagos, sino que también pueden ser inversiones que se hacen.

Ahora bien, la definición anterior de anualidad la voy a separar en tres partes (3 conceptos) para que sea más entendible.

Conceptos clave para aprender el tema de anualidades

3 conceptos necesarios para entender el concepto de anualidad

Como dije antes, la definición la voy a separar en tres conceptos que te serán clave para pode entender el funcionamiento de una anualidad y te servirán para resolver problemas.

  1. Renta: es el nombre que se le otorga al pago, depósito o retiro periódico que se hace.
  2. Intervalo o periodo de pago: es el tiempo que pasa entre un pago y otro.
  3. Plazo de una anualidad: es el tiempo que transcurre desde la fecha inicial (primer pago), hasta la fecha del último pago.

De tal forma que la anualidad puede ser vista como una serie de rentas que son efectuadas en un mismo intervalo y que son pactadas a un determinado plazo.

Como puedes ver, esos conceptos están en la definición.

Elementos de una anualidad

¿Cómo se clasifican las anualidades?

Una anualidad, con base en los elementos que intervienen en ellas se clasifican de la siguiente forma:

Clasificación de las anualidades en matemáticas financieras

Algo importante a resaltar es el hecho de que las categorías no son excluyentes, es decir, una anualidad puede y es una combinación de las cuatro categorías. Por ejemplo, una anualidad puede ser:

  1. Simple.
  2. Cierta.
  3. Vencida.
  4. Inmediata.

Por lo cual, considero que debo de hablarte de cada categoría, antes de hablar sólo de las anualidades vencidas. Después de todo, la anualidad tendrá que ser una combinación de cada una de las categorías.

De hecho, podríamos hacer un árbol de decisiones para ver todas las posibles combinaciones que se pueden formar.

1. Con respecto al tiempo

Con respecto al tiempo, una anualidad puede ser:

TipoConcepto
Cierta:Una anualidad es cierta si sus fechas son fijas y si se estipulan con anticipación. Por lo cual, sabemos cuándo inicia y cuándo termina. Por ejemplo, si sacamos el crédito de una casa, sabemos cuándo comenzamos pagar y cuándo vamos a terminar de pagar.
Contingente:En una anualidad contingente no sabemos (no se establece desde el inicio) cuándo será la fecha del primer pago, del último pago o de ambos pagos. Un ejemplo de esto es un seguro de vida, ya que no se sabe cuando será el último pago.

De tal forma que aquí estamos hablando sobre la iniciación y terminación.

2. Con respecto a los pagos

Con respecto a los pagos, una anualidad puede ser:

TipoConcepto
Vencida:Los pagos tienen que ser realizados al vencimiento del periodo de pago. Se puede decir que yo uso y luego pago. Por ejemplo, si yo saco un producto a crédito y se paga cada mes, entonces no voy a pagar de inmediato, sino que empiezo a pagar un mes después.
Anticipada:Los pagos tienen que ser realizados al principio de cada periodo de pago. En este caso yo pago y luego uso. Si vas a rentar una casa, lo más probable es que tengas que pagar la mensualidad para poder comenzar a utilizar la propiedad.

3. Con respecto a los intereses

Con respecto a los intereses, una anualidad puede clasificarse en:

TipoConcepto
Simple:El periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Por ejemplo, si la tasa de interés es mensual y el periodo de pago es mensual.
General:El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Por ejemplo, la tasa de interés es semestral y el periodo de pago es mensual.

4. Con respecto a la iniciación

TipoConcepto
Inmediata:Los pagos o cobros se tienen que hacer en el periodo inmediato a la realización del contrato o trato.
Diferida:Se pospone por un tiempo la realización de los cobros o pagos. Muchas veces se le conoce como periodo de gracia.

Te voy a poner un ejemplo para que puedas entender mejor. Piensa en que vas a una tienda para comprar los regalos de navidad de tu familia. Ahora bien, no cuentas con el dinero suficiente y vas a sacar los productos a crédito.

Hasta aquí todo normal, ¿cierto? Bueno, ahora voy a ponerte dos situaciones que ejemplifican a una anualidad inmediata y a una simple.

1. Ya sacaste el producto a crédito y te van a cobrar $1000 peso cada mes por un año. Cabe destacar que vas a comenzar a pagar el siguiente mes. En este caso estamos hablando de una anualidad inmediata porque vas a comenzar a pagar en el periodo inmediato a la realización del préstamo.

2. Tenemos la misma situación que en el caso anterior, pero te dicen que vas a empezar a pagar $1000 pesos cada mes por un año, pero comienzas a pagar hasta enero del 2023 (3 meses después). Por lo cual, te están dando un periodo de gracia, ya que no vas a comenzar a pagar en el periodo inmediato a la realización del trato.

Como puedes ver, ambos casos se pueden dar de manera habitual.

¿Qué es una anualidad vencida?

Como dije antes, una anualidad puede pertenecer a diferentes categorías, sin embargo, una anualidad es vencida cuando el pago se tiene que realizar al finalizar el periodo, es decir se hace al vencimiento.

Puedes pensar que en las anualidades vencidas se usa y luego se paga. De hecho, cuando compras a crédito haces eso mismo, ya que no pagas de inmediato, sino que empiezas a pagar hasta que finaliza el periodo de pago.

A continuación, te voy a poner una imagen para que te quede más claro:

Qué es una anualidad vencida

Diferencia entre una anualidad vencida y una anticipada

Siguiendo con la imagen anterior, si fuese una anualidad anticipada, se tendría que pagar la anualidad desde el inicio, es decir desde el 0 (fecha inicial). Así de simple. ya que en una anualidad anticipada los pagos se hacen al inicio del periodo y no al finalizar.

¿Qué elementos necesitas para resolver problemas con este tipo de anualidades?

Lo que necesitas conocer es lo siguiente:

  • Renta: R
  • Capital: C
  • Monto: M

Si estás viendo anualidades, entonces considero que ya conoces sobre interés simple y compuesto. Ahí se habla sobre capital, monto, tasa de interés, etc.

Por lo cual, para no hacer más largo el artículo, no voy a explicarlo. Sin embargo, te voy a dejar dos artículos en los cuales lo explico y muestro ejercicios.

Fórmulas de anualidades vencidas

Las ecuaciones que vas a necesitar para que puedas resolver problemas de anualidades vencidas u ordinarias son las siguientes:

Nota: Los problemas de anualidades pueden ser resueltos simplemente con interés compuesto, pero las ecuaciones antes mencionadas nos permiten hacer las cosas de manera más rápida. Sin embargo, tienes que saber que los problemas con anualidades consideran las sumas de interés compuesto.

1. Ecuaciones de anualidades con el monto

Si deseas obtener el monto, el tiempo o la renta, entonces puedes usar las siguientes ecuaciones:

Fórmulas de Anualidades vencidas

2. Ecuaciones de anualidades vencidas con el capital

Ahora, a continuación te voy a compartir las fórmulas relativas al capital.

Ecuaciones de anualidades vencidas utilizando el capital

Ejercicios resueltos de anualidades vencidas

A continuación, te voy a proporcionar algunos ejercicios para que aprendas a resolver problemas de anualidades vencidas u ordinarias.

1. ¿Cuál es el monto de $100 mensuales depositados al final de cada mes, durante tres meses en una cuenta bancaria que rinde 10% mensual?

Antes de resolver el problema quiero destacar que he puesto un ejercicio de anualidades vencidas muy sencillo porque voy a resolverlo con interés compuesto y con las fórmulas que te he dado sobre anualidades.

Ahora bien, este problema de anualidad pertenece a las siguientes categorías:

  • Cierta: Es una anualidad cierta porque sabemos la fecha final y la de inicio (Son tres meses).
  • Simple: Es una anualidad simple porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. En este caso en ambos es mensual.
  • Inmediata: Se trata de una anualidad inmediata porque no mencionan que exista algún periodo de gracia. Por lo cual, se empieza a pagar en el periodo inmediato.
  • Vencida: Es una anualidad vencida porque el pago se hace al final de cada mes (final del periodo).

Por lo cual, se trata de una anualidad simple, cierta, inmediata y vencida. Bueno, ahora vamos a resolver el problema.

Datos de ejercicio

Los datos con los que contamos son los siguientes:

Renta (R):100 pesos mensuales
Plazo de la anualidad (n):3 meses
Tasa de interés (i):10% mensual
Monto (M):?

👉 Resolución del problema con interés compuesto

Si ya aprendiste interés compuesto, entonces sabes que el problema anterior puede ser resuelto con interés compuesto y para hacerlo sólo necesitas usar la fórmula de monto. Sin embargo, ya que se hacen tres pagos, se tienen que tomar por separado y llevar las cantidades a través del tiempo. Por último, sólo se tendría que hacer la suma de las tres cantidades obtenidas.

Claro que tienes que recordar que sólo se tienen que llevar en el tiempo dos cantidades (la renta del primer mes y la renta del segundo mes), ya que la renta del tercer mes se encuentra en la fecha final (hacia donde vamos a llevar las otras dos cantidades).

Para que lo puedas observar mejor, te voy a poner la siguiente imagen:

Ahora, ocupando la ecuación de monto, queda de la siguiente forma:

resolver problemas de anualidades vencidas con interés compuesto

Como puedes ver, ya tenemos los tres montos. Ahora sólo queda sumar los tres montos y ya tendremos el monto de la anualidad.

Por lo cual la respuesta es: 121 + 110 + 100 = 331

👉 Problema resuelto con las ecuaciones de anualidades vencidas

Ya que estamos buscando el monto, vamos a utilizar la siguiente fórmula:

Fórmula para encontrar el monto en anualidades vencidas

Es la misma que te compartí más arriba.

Ahora bien, vamos a sustituir los datos:

Como puedes ver, nos sale el mismo resultado, es decir 331. Por lo cual, las ecuaciones de anualidades nos ahorran tiempo, ya que sería tardado resolver problemas con sólo las ecuaciones de interés compuesto.

Asimismo, he resuelto el ejercicio así para que veas cómo se comportan las anualidades.

2. Deseas obtener un capital de $200,000 mediante inversiones semestrales al final de cada semestre, durante 10 años. ¿Cuál es la renta que necesitas depositar si se considera una tasa de interés del 20% semestral?

Vamos a ver con qué datos contamos para poder resolver el ejercicio.

Monto (M):200,000
Plazo de anualidad (n):10 años = 20 semestres
Tasa de interés (i):20% semestral
Renta (R):?

vamos a utilizar la ecuación de renta, ya que nos están preguntando sobre la renta que tenemos que dar semestralmente para que en 10 años podamos obtener la cantidad de 200,000 considerando una tasa del 20% semestral.

La ecuación para encontrar la renta de una anualidad vencida es la siguiente:

Si sustituimos los datos queda de la siguiente forma:

Ejercicio resuelto de anualidades vencidas

Nota: no se ocupa el 10 (años) porque tienes que seguir las reglas que se vieron en interés compuesto. De tal forma que no podemos usar años si la tasa de interés es semestral. Claro que también podemos cambiar la tasa de interés, pero para este ejercicio queda mejor cambiar el plazo a semestres y así obtener la renta semestral.

3. Deseas efectuar una inversión que te permita obtener una renta de $100,000 pesos durante 5 años. Considera una tasa del 40% anual. ¿Cuánto deberás de invertir?

¿Estamos ocupando el monto? No, ya que nos están hablando sobre la inversión, es decir nos están preguntando sobre el capital. De tal forma que contamos con los siguientes datos:

👉 Datos del problema

Capital (C):?
Renta (R):100,000 anuales
Plazo (n):5 años
Tasa de interés (i):40% anual

👉 Resolución del problema

La fórmula que vamos a utilizar es la siguiente:

Si sustituimos los datos queda de la siguiente forma:

Ejercicio 3 de anualidades vencidas

Por lo cual, necesitarías hacer una inversión de 203,516.39 peso para recibir una renta de 100,000 pesos anuales por 5 años.

4. Encuentra el importe pagado (capital) por un aparato electrónico por el cual entregaste un enganche de $1,000. Considera que se hicieron 12 pagos mensuales vencidos por $100. Se considera un interés del 30% anual capitalizable mensualmente.

Los datos con los que contamos son los siguientes:

👉 Datos del problema

Capital (C):?
Renta (R):100 pesos mensuales
Plazo (n):12 meses
Tasa de interés (i):30% anual capitalizable mensualmente
Enganche:1000 pesos

👉 Resolución del problema

De momento no hay que hacerle caso al enganche, después de todo, ya se encuentra en el valor actual o presente. Lo que hay que hacer es traer todas los pagos que se hicieron al valor actual o presente (Capital).

Por supuesto, podríamos hacerlo con interés compuesto (fórmula de capital) y traer cada cantidad al presente para luego sumar todas las cantidades. Sin embargo, vamos a utilizar de nuevo la ecuación de capital de anualidades vencidas.

Si sustituimos los datos queda de la siguiente forma:

ahora bien, aún no se termina el problema, ya que no hemos sumado el enganche que se dio. Por lo cual la respuesta es: 1025.77 + 1000 = 2025.77. Ahora sí hemos terminado el problema.

Nota: la tasa de interés se dividió por 12 porque la tasa capitaliza 12 veces en un año, ya que es un año tiene 12 meses. Por lo cual, la tasa de dividió por 12 para encontrar la tasa mensual.

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